viernes, 17 de junio de 2011

MODA, MEDIA, MEDIANA


 



 


Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

fórmula de la moda
Li-1 es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
moda

Ejemplo

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
100
moda
moda 

Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre cociente.
mediana
Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
cociente es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi Fi
[60, 63) 5 5
[63, 66) 18 23
[66, 69) 42 65
[69, 72) 27 92
[72, 75) 8 100
100
100 / 2 = 50
Clase modal: [66, 69)



mediana 


2.3.4 La mediana

Consideramos una variable discreta X cuyas observaciones en una tabla estadística han sido ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana, Medal primer valor de la variable que deja por debajo de sí al $50\%$ de las observaciones. Por tanto, si n es el número de observaciones, la mediana corresponderá a la observación [n/2]+1, donde representamos por $[\,\cdot\,]$ la parte entera de un número.


  
Figura: Cálculo geométrico de la mediana
\includegraphics[angle=0, width=0.9\textwidth]{fig02-02.eps}

En el caso de variables continuas, las clases vienen dadas por intervalos, y aquí la fórmula de la mediana se complica un poco más (pero no demasiado): Sea (li-1,li] el intervalo donde hemos encontrado que por debajo están el $50\%$ de las observaciones. Entonces se obtiene la mediana a partir de las frecuencias absolutas acumuladas, mediante interpolación lineal (teorema de Thales) como sigue (figura 2.2):

 \begin{eqnarray}\html{eqn2}\nonumber \frac{CC'}{AC}=\frac{BB'}{AB}&\Longrightarr... ...frac{ \displaystyle \frac{n}{2} - N_{i-1}}{n_i} \cdot a_i$ } } } \end{eqnarray}

2.3.4.1 Observación

La relación (2.2) corresponde a definir para cada posible observación, $x \in (l_{j-1},l_j]$, su frecuencia relativa acumulada, F(x), por interpolación lineal entre los valores F(lj-1) = Fj-1 y F(lj) = Fj de forma que

\begin{displaymath}F(x) = F(l_{j-1}) + \frac{ F(l_j) - F(l_{j-1})}{a_j} \, \left(x-l_{j-1}\right) \end{displaymath}

De este modo, Med es el punto donde $F({M_{ed}})=\frac{1}{2}$. Esto equivale a decir que la mediana divide al histograma en dos partes de áreas iguales a $\frac{1}{2}$.

2.3.4.2 Observación

Entre las propiedades de la mediana, vamos a destacar las siguientes:
  • Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado su uso en distribuciones asimétricas.
  • Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla.
  • A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta es siempre un valor de la variable que estudiamos (ej. La mediana de una variable número de hijos toma siempre valores enteros).
  • Si una población está formada por 2 subpoblaciones de medianas Med1 y Med2, sólo se puede afirmar que la mediana, Med, de la población está comprendida entre Med1 y Med2
    \begin{displaymath}{M_{ed}}_1 \leq {M_{ed}}\leq {M_{ed}}_2 \end{displaymath}

  • El mayor defecto de la mediana es que tiene unas propiedades matemáticas complicadas, lo que hace que sea muy difícil de utilizar en inferencia estadística.
  • Es función de los intervalos escogidos.
  • Puede ser calculada aunque el intervalo inferior o el superior no tenga límites.
  • La suma de las diferencias de los valores absolutos de n puntuaciones respecto a su mediana es menor o igual que cualquier otro valor. Este es el equivalente al teorema de König (proposición 2.1) con respecto a la media, pero donde se considera como medida de dispersión a:
    \begin{displaymath}\sum_{i=1}^n \mid x_i-{M_{ed}}\mid \end{displaymath}
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1 comentario:

  1. katy317 de junio de 2011, 12:33

    ESCRIBA LO IMPORTANTE DE QUE ES; MODA MEDIANA Y MEDIA.
    SUBRAYE LAS IDEAS PRINCIPALES Y ESCRIBA EN EL PORTAFOLIO.

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