viernes, 17 de junio de 2011

MEDIA ARITMÉTICA Y MEDIA PONDERADA

                                         MEDIA ARITMÉTICA

Media aritmética ()
La media aritmética o simplemente media, que denotaremos por , es el número obtenido al dividir la suma de todos los valores de la variable entre el numero total de observaciones, y se define por la siguiente expresión:
Ejemplo:
Si tenemos la siguiente distribución, se pide hallar la media aritmética, de los siguientes datos expresados en kg.
xi
 ni
xi ni
54
2
108
59
3
177
63
4
252
64
1
64
 
N=10
601
 
  kg
 Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media aritmética, es la misma, pero utilizando la marca de clase (Xi).
 Ejemplo:
(Li-1,Li]
xi
ni
xi ni
[30 , 40]
35
3
105
(40 , 50]
45
2
90
(50 , 60]
55
5
275
 
 
10
470
 
 Propiedades:
1ª) Si sometemos a una variable estadística X, a un cambio de origen y escala Y = a + b X, la media aritmética de dicha variable X, varía en la misma proporción.
        →     
 2ª) La suma de las desviaciones de los valores o datos de una variable X, respecto a su media aritmética es cero.
 
 Ventajas e inconvenientes:
-         La media aritmética viene expresada en las mismas unidades que la variable.
-         En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.
-         Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos los valores observados.
-         Es única.
-        Su principal inconveniente es que se ve afectada por los valores extremadamente grandes o pequeños de la distribución.


 
Media geométrica
Sea una distribución de frecuencias  (x, n). La media geométrica, que denotaremos por G. se define como la raíz N-ésima del producto de los N valores de la distribución.
G =
Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media geométrica, es la misma, pero utilizando la marca de clase (Xi).
El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones acumulativas.
Ventajas e inconvenientes:
-         En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.
-         Los valores extremos tienen menor influencia que en la media aritmética.
-         Es única.
-         Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética.
Además, cuando la variable toma al menos un x = 0 entonces G se anula, y si la variable toma valores negativos se pueden presentar una gama de casos particulares en los que tampoco queda determinada debido al problema de las raíces de índice par de números negativos.


Media ponderada

La media ponderada es similar a una media aritmética (el tipo más común de la media ), donde en lugar de cada uno de los puntos de datos que contribuyen por igual a la media final, algunos puntos de datos contribuyen más que otros. The notion of weighted mean plays a role in descriptive statistics and also occurs in a more general form in several other areas of mathematics. La noción de la media ponderada juega un papel en la estadística descriptiva y también se da en una forma más general en otras áreas de las matemáticas. If all the weights are equal, then the weighted mean is the same as the arithmetic mean . Si todos los pesos son iguales, entonces la media ponderada es igual a la media aritmética . While weighted means generally behave in a similar fashion to arithmetic means, they do have a few counter-intuitive properties, as captured for instance in Simpson's paradox . Mientras que las medias ponderadas en general se comportan de manera similar a las medias aritméticas, que tienen unos pocos contra-intuitivo propiedades, como se refleja por ejemplo en la paradoja de Simpson .
The term weighted average usually refers to a weighted arithmetic mean, but weighted versions of other means can also be calculated, such as the weighted geometric mean and the weighted harmonic mean . La media ponderada del término se refiere generalmente a una media aritmética ponderada, pero las versiones ponderado de otros medios también se puede calcular, como la media geométrica ponderada y la media armónica ponderada .
definición (en el medio (matemáticas) ) ...the arithmetic mean is commonly used as the single value typical of a set of data. ... La media aritmética se usa comúnmente como el único valor típico de un conjunto de datos. For a system of particles having unequal masses, the centre of gravity is determined by a more general average, the weighted arithmetic mean. Para que un sistema de partículas que tienen masas desiguales, el centro de gravedad está determinada por un promedio de más general, la media aritmética ponderada. If each number ( x ) is assigned a corresponding positive weight ( w ), the weighted arithmetic mean is defined as the sum of their products ( w x )... Si cada número (x) se le asigna un peso correspondiente positivo (w), la media aritmética ponderada se define como la suma de sus productos (w x) ...

Media aritmética, media geométrica Desigualdad

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The Arithmetic Mean-Geometric Mean Inequality ( AM-GM or AMGM ) is an elementary inequality , and is generally one of the first ones taught in inequality courses. La media aritmética-geométrica Desigualdad media (AM-GM o AMGM) es un elemental la desigualdad , y es generalmente uno de los primeros en enseñar en los cursos de la desigualdad.

Contents Contenido

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Theorem Teorema

AM-GM states that for any set of nonnegative real numbers , the arithmetic mean of the set is greater than or equal to the geometric mean of the set. AM-GM dice que para cualquier conjunto de negativos los números reales , la media aritmética del conjunto es mayor o igual a la media geométrica del conjunto. Algebraically, this is expressed as follows. Algebraica, esto se expresa de la siguiente manera.
For a set of nonnegative real numbers Para un conjunto de números reales no negativos a_1,a_2,\ldots,a_n , the following always holds: , Siempre tiene las siguientes: \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} Using the shorthand notation for summations and products : Usando la notación abreviada de sumas y productos : \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{n} \geq \prod\limits_{i=1}^{n}a_i^{\frac{1}{n}} . For example, for the set Por ejemplo, para el conjunto de \{9,12,54\} , the arithmetic mean, 25, is greater than the geometric mean, 18; AM-GM guarantees this is always the case. , La media aritmética, de 25 años, es mayor que la media geométrica, de 18 años; AM-GM garantiza este es siempre el caso.
The equality condition of this inequality states that the arithmetic mean and geometric mean are equal if and only if all members of the set are equal. La condición de igualdad de esta desigualdad indica que la media aritmética y media geométrica son iguales si y sólo si todos los miembros del conjunto son iguales.
AM-GM can be used fairly frequently to solve Olympiad -level inequality problems, such as those on the USAMO and IMO . AM-GM se puede utilizar con bastante frecuencia para resolver Olimpiada a nivel de los problemas de desigualdad, tales como los de la USAMO y la OMI
There are so many proofs of AM-GM that they have an article to themselves: Proofs of AM-GM . Hay tantas pruebas de AM-GM que tienen un artículo a sí mismos: Las pruebas de AM-GM .

  Forma ponderada

The weighted form of AM-GM is given by using weighted averages . La forma ponderada de AM-GM se da mediante el uso de promedios ponderados . For example, the weighted arithmetic mean of Por ejemplo, la media aritmética ponderada de x and y y with con 3:1 is es \frac{3x+1y}{3+1} and the geometric is y la geométrica es \sqrt[3+1]{x^3y} . .
AM-GM applies to weighted averages. AM-GM se aplica a los promedios ponderados. Specifically, the weighted AM-GM Inequality states that if En concreto, la media ponderada de AM-GM desigualdad establece que si a_1, a_2, \dotsc, a_n are nonnegative real numbers, and son números reales no negativos, y \lambda_1, \lambda_2, \dotsc, \lambda_n are nonnegative real numbers (the "weights") which sum to 1, then son números reales no negativos (los "pesos"), que suman 1, entonces \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \dotsb + \lambda_n a_n \ge a_1^{\lambda_1} a_2^{\lambda_2} \dotsm a_n^{\lambda_n}, or, in more compact notation, o, en notación más compacta, \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i \ge \prod_{i=1}^n a_i^{\lambda_i} . Equality holds if and only if La igualdad se cumple si y sólo si a_i = a_j for all integers para todos los enteros i, j such that de tal manera que \lambda_i \neq 0 and y \lambda_j \neq 0 . . We obtain the unweighted form of AM-GM by setting Obtenemos la forma no ponderada de AM-GM mediante el establecimiento de \lambda_1 = \lambda_2 = \dotsb = \lambda_n = 1/n . .





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3 comentarios:

  1. katy317 de junio de 2011, 12:30

    AQUÍ HAY INFORMACION, SELECCIONE Y ESCRIBA LO QUE SEA DE MAYOR INTERÉS.

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  2. mundofm1 de junio de 2012, 11:49

    Asumiendo que se tiene demostrado que MA>=MG

    Alguna idea para demostrar (tal vez algún enlace)

    MA(ponderada)>=MG(ponderada)
    Tal que los pesos son reales (incluye a los irracionales)

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  3. Unknown19 de diciembre de 2019, 9:39

    Quiero saber la ventaja y desventaja y propoedades de la media ponderada

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